Long March across the Theory of Galois

1 A. Grothendieck’s Long March across the Theory of (Évariste) Galois

“La Longue Marche á travers la théorie de Galois” (“The Long March Through Galois Theory”) is an approximately 1600–page handwritten manuscript produced by Grothendieck during the years 1980–1981, containing many of the ideas leading to the “Esquisse d’un Programme”.

“Typed in Tex, it comes out to about 600 pages. It goes together with a further 1,000 pages or so of additional notes and sections which have not yet been read or typed. Many of the major themes were summarised in the 1983 manuscript “Esquisse d’un Programme”, and in particular studying the Teichmüller theory.

The Table of Contents for this important work by Alexander Grothendieck was originally compiled in French by the author and is reproduced here after the English Translation of the major parts of the Long March.

1.1 Table of Contents for the Long March across Galois Theory

1.: Multi-Galois Toposes (topoi)
2.: Applications to topos coverings
3.: Pro-multi-Galois variants
4.: Complements
5.: Introducing the arithmetic context; an ‘anabelian’ (non-Abelian) fundamental conjecture
6.: Local analysis of (X,S) for s ∈ S
7.: Reformulation of the conjecture (the necessary ‘purgatorium’...)
8.: A taxonomic reflexion
9.: Tangential structure at s ∈ S (sections of second type extensions)
10.: Adjusting the hypotheses
11.: Conditions on the groupoid systems originating from geometric considerations (in the nonabelian case, the groupoid system can be expressed in terms of outer groups)
12.: Returning to the arithmetic case: the Galois–type formulation, p. 53
13.: A cohomological digression, p.58
14.: Returning to the topological case: critical orbits
15.: Returning to the concept of cyclic group
16.: Application to the finite subgroups of Aut_ext (the discrete case, para.18)
17.: Tour of Teichmüller (spaces)
18.: Digression: the description of 2-isotopic categories of algebraic curves p.116
19.: 21. Teichmüller spaces p.126
20.: 23. Returning to the surfaces of (finite) groups of operators (‘formulating the equations’ of the problem)
21.: “Special” Teichmüller Groups
22.: The case of “two groups of operators”
23.: 26. Profinite Teichmüller Groups, connection with the modular Teichmüller topos, conjecture
24.: 29. Critique of the previous approach
25.: 31. Digression: a finite group G over a profinite cyclic group π
26.: 32 Returning to the arithmetic aspects: a remarkable reconstruction of all of the étale topos of a complete algebraic curve starting from an open nonabelian space...
27.: 33. A topological digression: anti-involutions of compact, oriented surfaces
28.: 35. Injectivity of Γ_Q → Autext_lac(𝒯_1,1⁺) = Autext_lacSL(2,𝒵⁾
29.: 36. The isomorphism Γ_QΓ_1,1 and the injectivity of Γ_Q → Autext_lac(𝒯_1,1⁺) = Autext_lacSL(2,𝒵⁾
30.: 37. Modules of elliptic curves via Legendre functions, or M_1,1[2]′𝒰_0,3M_0,4^!.

1.1.1 Alexander Grothendieck’s original document in French:

1. Topos multigaloisiens
2. Application aux revetements des topos
3. Variantes pro-multigaloisiennes
4. Compléments, remords
5. Introduction du contexte arithmétique; conjecture anabélienne fondamentale
6. Analyse locale de (X,S) en un s ∈ S
7. Reformulation ‘bordélique’ de la conjecture (le purgatoire nécessaire...)
8. Réflexion taxonomique (distinction des cas oú le purgatoire sáménage un peu...)
9. Structure tangentielle en les s ∈ S (sections d’extensions “de deuxiéme type”)
10. Ajustement des hypothéses (remords)
11. Conditions sur les systémes de groupoïdes obtenus á partir de situations géométriques (oú on se convaincu aussi que le bordel groupoïdal peut séxprimer complétement, dans les cas anabéliens, par les groupes extérieurs á lacets)
13. Retour au cas arithmétique; formulation ‘galoisienne” . 53
13 bis. Retour sur la notion de groupe ’a lacets . . 56
14. Digression cohomologique (sur le “‘bouchage de rous”) .. 58
15. Retour sur le cas topologique: orbites critiques des scindages d’extensions; application aux sous–groupes finis de Autext_lac (cas discret; cf. aussi para.18)
16. Bouchage et forage de trous: préliminaires topologiques généraux . . . . 79
17. Complément au para. 15; sous–groupes de groupes á lacets . . . . . . . . 89
18. Forage de trous; applications aux sous–groupes finis de Autextlac() . . . 91 (cas discret)
19. Tour de Teichmüller . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
20. Digression: description 2–isotopique de la catégorie des isomorphismes topologiques
21. Les espaces de Teichmüller . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Manque le para 22.
22 [notation en marge]
23. Retour sur les surfaces á groupes (finis)dâ€™opérateurs (“mise en équations” du probléme)
24. Essai de détermination de A^0Γ; lien avec les relations π_{(g,ν,ν+n−1)}^Γ = 1 programme de travail
25. Groupes de Teichmüller “spéciaux” . . . . . . . . . . . . . 148
25bis. “Cas des deux groupes” d’opérateurs; retour sur les notations . . . . 155
26. Groupes de Teichmüller profinis, discrétifications et prédiscrétifications; lien avec le topos modulaire de Teichmüller, conjecture hative
27. Changement de type (g,ν) : a) bouchage de trous . 172
28. Changement de type (g,ν) : b) passage á un revetements fini (la conjecture hative grince...)
29. Critique de l’approche précédente . . . . 186 (on rajuste les notions et les conjectures)
30. Propriétés des 𝒩_g, Γ_g,ν : . . . . . . . 192 a) Propriét’es liées aux sous-groupes finis de Teichmüller
31. Digression sur les relévements d’une action extérieure . . . . . . . . 198 d’un groupe fini G sur un groupe profini á lacets
32. Retour sur les aspects arithmétiques du bouchage de trous: relations entre Γ_g,ν et Γ_g,ν−1 (oú on reconstitue, sans le dire, tout le topos étale d’une courbe algébrique compléte, á partir du π₁ d’un ouvert anabélien...)
33. Digression topologique: anti–involutions des surfaces orientées compactes . 221 (en laissant de coté d’abord le cas “a trous”)
33 bis. Relation entre les 𝒩_g,ν, Γ_g,ν, pour g variable .239 (étude des revetements finis)
34. Description heuristique profinie de la catégorie des courbes algébriques définies sur des sous–extensions finies K de Q₀∕Q
35. L’injectivité de Γ_Q → Autext_lac(π(0, 3). 249
36. L’isomorphisme Γ_QΓ_1,1.
et l’injectivité de Γ_Q → Autext_lac(𝒯_1,1⁺) = Autext_lacSL(2,𝒵⁾
37. Modules des courbes elliptiques via Legendre, ou M_1,1[2]′𝒰_0,3M_0,4^!.

References

[1] Allyn Jackson. March 1999. The IHÉS at Forty., 9 pp. (“The IHÉS was founded in 1958 by mathematician/ mathematical physicist Léon Motchane, and followed for many years Robert Oppenheimer council. Léon was born in St. Petersburg in 1900 to Swiss parents.”)

[2] DAVID AUBIN, Un pacte singulier entre mathématiques et industrie, La Recherche, No. 313 (October 1998), 98–103.

[3] PIERRE CARTIER, La folle journée, de Grothendieck á Connes et Kontsevich, Les Relations entre les Mathématiques et la Physique Théorique, Festschrift for the 40th anniversary of the IHÉS, Publications de l’IHÉS, October 1998.

"Long March across the Theory of Galois" is owned by bci1.
(view preamble)